«Жесткие» замощения

а) Чтобы получить условие, которому должны удовлетворять углы треугольника, достаточно воспользоваться тем, что сумма углов, примыкающих к каждой вершине, равна 360°. А для поиска условия на стороны полезно рассмотреть отрезки, образованные несколькими сторонами примыкающих друг к другу треугольников.

Отметим, что углы и стороны не могут изменяться независимо друг от друга, они взаимосвязаны. Более того, связь между углами и соотношениями сторон взаимно однозначная. В самом деле, зная соотношения сторон, можно определить значения углов по теореме косинусов. А зная углы, можно найти соотношения сторон по теореме синусов. Таким образом, чтобы решить задачу, достаточно найти всего два уравнения на стороны или углы.

б), в) Основная идея заключается в следующем. Чтобы замощение оказалось «жестким», входящие в него копии одной и той же плитки должны соприкасаться друг с другом как можно большим числом способов. Тогда каждый такой способ даст некоторое уравнение на углы и стороны, а чем больше уравнений — тем меньше степеней свободы.

Имеется несколько способов попытаться сконструировать такую плитку, копии которой можно было бы приложить друг к другу по-разному. Один из них — наложить на плитку какие-нибудь характерные ограничения. Например, искать ее в классе многоугольников, обладающих параллельными сторонами. Или среди плиток, какие-нибудь стороны которых равны. Также может быть хорошей идеей рассматривать углы, делящие 360° и кратные им.

Другой возможный способ — попробовать воспользоваться уже известными замощениями, например, такими, как на рис. 3. Тогда надо пытаться сложить из нескольких плиток или кусочков плиток, входящих в исходное замощение, новую плитку. А уже потом из копий полученной плитки сложить «жесткое» замощение, в контурах которого будет угадываться замощение исходное.

Рис. 3.

а) Обозначим стороны и углы треугольной плитки так, как показано слева на рис. 4. Тогда рассмотрение отрезка, образованного сторонами четырех треугольников (в середине на рис. 4) позволяет получить соотношение на стороны: a + c = 2b. А глядя на вершину, в которой сходятся три треугольника (справа на рис. 4), мы понимаем, что 2γ = 180°. Таким образом, γ = 90°, то есть треугольник прямоугольный. Значит, он удовлетворяет теореме Пифагора: \( a^2+b^2=c^2.\)

Рис. 4.

Теперь, чтобы найти искомые соотношения, достаточно простых вычислений:

Отсюда получаем

Соответственно, углы треугольника равны \( \alpha=\arcsin\dfrac{a}{c}=\arcsin\dfrac{3}{5}, \) \( \beta=\arcsin\dfrac{b}{c}=\arcsin\dfrac{4}{5},\) \( \gamma=90^{\circ}. \)

б) Рассмотрим прямоугольную трапецию, составленную из квадрата и прямоугольного треугольника, равного половине этого квадрата (рис. 5, слева). Копии этой трапеции можно приложить друг к другу многими разными способами. Поскольку мы хотим, чтобы получившееся в итоге замощение оказалось «жестким», для начала нам необходимо составить из указанных трапециевидных плиток такие конфигурации, которые будут задавать отношения сторон и углы трапеции однозначно. Этого несложно добиться. Например, сложив из четырех плиток фигуры, изображенные на рис. 5, мы добьемся выполнения равенства γ = δ = 90°, а составив из восьми плиток «крест», получим условие α = 45°. Если же из трех плиток собрать фигуру, изображенную на рис. 5 справа, то будет справедливо равенство 2a = b.

Рис. 5.

Очевидно, что если четырехугольник удовлетворяет указанным выше четырем равенствам, то он непременно представляет собой нашу прямоугольную трапецию. Поэтому любое замощение, в котором встречаются все вышеупомянутые конфигурации, непременно окажется «жестким» в том смысле, что по той же схеме не получится сложить замощение ни из какого другого четырехугольника. Подобных замощений бесчисленное множество; например, таковым является замощение, изображенное на рис. 6.

Рис. 6.

Отметим, что хотя замощение на рис. 6 согласно нашему определению «жесткое», оно легко подвергается деформации: можно свободно двигать плитки, находящиеся в одном горизонтальном или вертикальном ряду, вдоль соответствующей прямой. Этого можно избежать, если сложить их другим способом. Например, так, как показано на рис. 7.

Рис. 7.

в) В основе замощений, изображенных на рис. 6 и рис. 7, можно угадать стандартный паркет из квадратиков (рис. 3, справа). Покажем, как подобным образом можно получить «жесткую картинку» из невыпуклых пятиугольников, использовав в качестве основы замощение правильными треугольниками (рис. 3, слева). Для этого возьмем плитку, составленную из двух правильных треугольников и еще двух половинок таких треугольников (рис. 8, слева).

Рис. 8.

Как и в предыдущем пункте, сначала укажем четыре конфигурации, которые определяют рассматриваемую нами плитку однозначно. Они показаны на рис. 8. Первая из них задает угол ε = 90°. Вторая позволяет написать соотношение 3γ + 2ε =360°, а поскольку угол ε уже зафиксирован, получаем γ = 60°. Аналогично, третья конфигурация дает равенство α + γ + 3ε = 360°, откуда α = 30°. И наконец, последняя конфигурация позволяет понять, что β + 2γ = 360°, то есть β = 240°. Что касается угла δ, то он определяется исходя из того, что сумма углов пятиугольника равна 540°, и равен δ = 120°.

Рис. 9.

Оказывается, уже одной только конфигурации, изображенной в середине на рис. 8, достаточно для того, чтобы было выполнено равенство b = e = a = d. Следовательно, указанные выше четыре конфигурации действительно определяют пятиугольную плитку однозначно. Таким образом, остается привести пример замощения, включающего их все. При его построении помогает идея конструирования полос: сначала копиями нашей плитки мы порождаем бесконечную полосу, которую можно прикладывать саму к себе (рис. 9). А затем такими полосами уже покрываем всю плоскость (рис. 10). Отметим широкую применимость идеи конструирования полос: подобное «полосатое» строение имеют оба замощения, построенные нами при решении пункта б), да и вообще, любое периодическое замощение, по сути, сложено из полос. Однако периодическими замощениями дело не ограничивается (что можно наблюдать, например, в задаче Паркеты из полимино).

Рис. 10.

В нашем примере плитка не является выпуклой, однако это совершенно не обязательное условие для того, чтобы породить «жесткое замощение». Рассмотрим пятиугольную плитку, изображенную на рис. 11 — она составлена из квадрата и двух прямоугольных треугольников с меньшим углом, равным 22,5°. Оказывается, копиями такой плитки тоже можно замостить плоскость «жестким образом», как это показано справа на рис. 11. Правда, доказать это несколько сложнее, чем «жесткость» замощений, которые нам встретились ранее. Тем не менее, обрисуем основные моменты этого доказательства.

Рис. 11.

Прежде всего, из схемы, по которой сложены плитки, видно, что стороны удовлетворяют соотношениям a = e = b и c = b + d. Что же касается углов, то на них можно составить четыре уравнения, из которых видно, что α = γ, δ = ε, β + δ = 180° и β + 180° = 2γ. Поэтому, введя угол φ = δ/2, можем выразить остальные углы через него:

Теперь главная идея заключается в следующем. Чтобы замощение было «жестким», необходимо, чтобы у него отсутствовали степени свободы. На текущий момент у нашей плитки есть два параметра, которые мы можем варьировать: угол φ и отношение сторон a и d. Однако эти изменения не могут быть произвольными, потому что параметры взаимосвязаны. Если, проанализировав характер этой связи, мы покажем, что для данной схемы реализуется лишь конечное число возможных углов и отношений сторон, то отсюда сразу будет следовать, что искомое замощение является «жестким».

Введем обозначения так, как показано слева внизу на рис. 11. Поскольку CDEF — равнобокая трапеция, то основание

Поэтому мы можем найти отношение отрезков a и d, выразив отрезок BF по теореме косинусов в треугольниках ABF и CBF:

Преобразовав, получим

С другой стороны, мы можем найти отношение отрезков a и d, выразив отрезок AC по теореме косинусов в треугольниках ABC и AFC:

Если \( \cos2\varphi\ne0 \), то есть если пятиугольник отличается от нашего, мы приходим к следующему равенству:

\[ \dfrac{d}{a} = \dfrac{2(\cos^2\varphi-1)}{2\cos^2\varphi-1} = -\dfrac{2\sin^2\varphi}{\cos2\varphi}. \]

В частности, отсюда видно, что это возможно только при \( \cos2\varphi<0 \), и при этом

Последнее уравнение же может иметь лишь конечное число решений. Таким образом, рассматриваемое замощение — «жесткое».

Все замощения, обсуждаемые выше в рамках данной задачи, в своей основе использовали одну единственную многоугольную плитку. Эту плитку мы копировали и затем копиями покрывали всю плоскость без пробелов и наложений. Такие замощения называются моноэдральными, а лежащий в их основе многоугольник — протоплиткой. Как мы видели, даже несмотря на запрет использовать плитки разных видов, получающиеся картинки отличались большим разнообразием. Во многих случаях замощений с данной протоплиткой оказывается бесконечно много, более того — их несчетное количество. В то же время, для других протоплиток (как, скажем, для правильного шестиугольника) замощение единственно, а некоторые протоплитки не допускают замощения вовсе.

Было бы естественно задаться вопросом, как по виду данного многоугольника понять, можно ли его копиями замостить плоскость. Однако алгоритм, который позволял бы ответить на этот вопрос, получив на входе плитку, а на выходе выдав результат «да» или «нет», человечеству неизвестен. Более того, есть серьезные основания сомневаться в том, что он в принципе существует. Обсудим вкратце, что может этому мешать. Для этого будет полезно хотя бы поверхностно познакомиться с группой симметрий замощений.

Симметрией данного замощения называется такое движение плоскости, которое переводит это замощение в себя. Грубо говоря, если вы сначала долго смотрели на замощение, потом отвернулись, а кто-то за вашей спиной передвинул все плитки так, что, во-первых, расстояния между плитками сохранились, а во-вторых, вы, обернувшись, не можете найти разницу — это и есть симметрия. Если среди множества всех симметрий замощения существует два несонаправленных параллельных переноса, то это замощение называется периодическим. Например, периодическими являются замощения на рис. 6, 7, 10 и 11, да и вообще — все замощения, которые мы пока обсуждали. Однако во всех этих примерах несложно переставить плитки так, чтобы это свойство перестало выполняться.

Периодические замощения характеризуются наличием так называемой фундаментальной области — такого поднабора плиток, что все замощение можно получить параллельными переносами этого поднабора (это как раз наши «полосы», о которых говорилось в решении). Поэтому пытаясь ответить на вопрос, можно ли копиями данной протоплитки замостить всю плоскость, довольно естественно действовать следующим образом. Нужно перебирать все возможные варианты, состыковывая плитки друг с другом, и, если в какой-то момент возникла фундаментальная область, то, значит, замощение есть. А если мы перечислим все варианты, а фундаментальной области не найдем, то замощения данная протоплитка не допускает.

Однако в этом методе поиска есть существенный недостаток. Вдруг наша протоплитка оказалась апериодической, то есть замостить всю плоскость ее копиями можно, но все эти замощения — непериодические? Тогда всех способов состыковать между собой плитки мы никогда не переберем, потому что ими можно покрыть кусок сколь угодно большого размера. Но и фундаментальной области нам найти не удастся, ведь периодического замощения нет. Так и будем перебирать варианты до бесконечности и никогда не остановимся.

Существуют ли апериодические протоплитки, на сегодняшний день доподлинно неизвестно — постулирующая этот факт гипотеза Конвея пока не доказана. Так что еще остается некоторая вероятность того, что изложенный выше алгоритм позволяет ответить на вопрос, можно ли сконструировать замощение на основе данной протоплитки или нет. Однако в трехмерном пространстве аналогичная гипотеза была решена положительно, и на плоскости Лобачевского — тоже. Кроме того, стоит нам увеличить число используемых протоплиток до двух, как мы сразу обнаруживаем пример апериодического набора — знаменитую мозаику Пенроуза (рис. 12).

Рис. 12. Мозаика Пенроуза. Изображение с сайта ru.wikipedia.org

Коль скоро нет уверенности в том, всегда ли можно понять по данной плитке, допускает она замощение плоскости или нет, стоит попробовать рассмотреть менее общий случай и наложить на протоплитку какие-нибудь ограничения. Прежде всего, будем считать, что все многоугольники, составляющие замощение, являются выпуклыми. Это условие оказывается достаточно сильным: выясняется, что количество сторон выпуклой протоплитки, допускающей замощение, не превышает 6. Однако и здесь возникают серьезные трудности.

Рис. 13.

Несложно убедиться в том, что копиями любого треугольника, равно как и копиями любого четырехугольника можно покрыть всю плоскость — здесь даже не нужно условие выпуклости (рис. 13). Однако уже с пятиугольниками все не так просто. Изучение моноэдральных замощений пятиугольниками имеет богатую историю, и даже сейчас еще нет полной уверенности, что эта задача обрела свое логическое завершение. По-видимому, первым провел классификацию в 1918 году Карл Рейнхард, выделив пять типов выпуклых пятиугольных замощений (рис. 14). Каждый тип характеризовался определённым набором условий на стороны и углы, оставлявшим, однако, определенную свободу — все эти замощения были «нежесткими». Через полвека, в 1968 году, Ричард Киршнер сообщил миру об открытии еще трех типов замощений, утверждая, что этими восемью типами все и исчерпывается. Однако он оказался неправ: в 1975 году Ричард Джеймс, прочитав статью известного популяризатора науки Мартина Гарднера, нашел еще один тип. Но настоящий прорыв в последующие два года совершила прочитавшая ту же статью домохозяйка Марджори Райс — ей удалось обнаружить целых четыре новых типа моноэдральных замощений выпуклыми пятиугольниками.

Рис. 14. 15 моноэдральных замощений плоскости пятиугольниками. Рисунок с сайта forbes.com

История на этом, однако, не закончилась: четырнадцатое замощение нашел Рольф Стейн в 1985 году — в отличие от всех предыдущих оно было «жестким». А еще через тридцать лет группа исследователей в составе Кейси Манна, Джениффера Маклауда и Дэвида фон Дюрея, используя компьютерные вычисления, обнаружила пятнадцатое замощение, тоже степенью свободы не обладавшей. Наконец, в 2017 году Майкл Рао предъявил доказательство того, что других пятиугольных замощений нет. Однако для доказательства Рао использовал специально написанную компьютерную программу, что вызывает определенный скепсис у части научного сообщества, хотя она и была независимо воспроизведена и проверена.

Другой подход к классификации моноэдральных замощений основан на том, что мы фокусируем внимание на свойствах плиток по отношению к группе симметрии. Если для любых двух плиток, входящих в замощение, существует симметрия, которая переводит первую плитку во вторую, то такое замощение называется изоэдральным. Более общо, мы говорим, что замощение k-изоэдральное, если множество его плиток разбивается на k классов под действием группы симметрий. Например, замощения на рис. 13 являются изоэдральными, потому что каждую плитку можно перевести в любую другую либо параллельным переносом (такие плитки раскрашены в один цвет), либо поворотом (такие плитки раскрашены в разные цвета). А замощение на рис. 11 уже 2-изоэдральное: плитки, раскрашенные желтым, можно перевести друг в друга так, чтобы замощение самосовместилось, точно также, как можно перевести друг в друга синие плитки, однако синюю плитку в желтую перевести нельзя. Другие замощения, которые мы видели в решении, также являются k-изоэдральными для разных k. Чтобы увидеть это, перерисуем их так, чтобы плитки могли быть переведены друг в друга симметрией замощения тогда и только тогда, когда они раскрашены в один цвет (как это было с замощением из условия, которое, как теперь нам понятно, является 3-изоэдральным). Сделав это, видим, что для одного из них k = 8 (рис. 15, слева), для второго k = 16 (рис. 15, справа), а для третьего k = 10 (рис. 15, внизу).

Рис. 15.

Изоэдральные замощения выпуклыми многоугольниками поддаются классификации. Так, всего имеется:

• 14 изоэдральных замощений треугольными плитками,
• 56 изоэдральных замощений выпуклыми четырёхугольными плитками,
• 24 изоэдральных замощений выпуклыми пятиугольными плитками,
• 13 изоэдральных замощений выпуклыми шестиугольными плитками.

В основном они «нежесткие» (как изображенные на рис. 13 замощения). Но часть из них при деформации перестает быть изоэдральными. Таково, например, замощение на рис. 16: мы можем сдвинуть горизонтальные полосы друг относительно друга, однако после этого треугольник с горизонтальным основанием нельзя будет перевести симметрией в треугольник с основанием наклонным.

Рис. 16.

Классифицировать k-изоэдральные замощения при k > 1 тоже можно. Однако, равно как и для замощений невыпуклыми плитками, это гораздо сложнее, и уже случай 2-изоэдральных замощений становится с трудом обозримым из-за огромного числа ветвящихся вариантов. А про большие значения k мы не будем даже говорить.